Soient a et b deux réels tels que 0 ≤ a ≤ b . Montrer que 1 + b 2 b − a ≤ arctan b − arctan a ≤ 1 + a 2 b − a . En déduire que pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : 1 + x 2 x ≤ arctan x ≤ x . Montrer que pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : x x + 1 − 1 < 2 1 . Montrer que pour tout x ∈ [ 0 ; + ∞ [ : − x ≤ cos x − 1 ≤ x , puis que sin x ≤ x et enfin que 1 − 2 x 2 ≤ cos x .

Encadrements classiques par le théorème des accroissements finis

Difficile

Énoncé

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leq a \leq b$ . Montrer que $\frac{b - a}{1 + b ^{2}} \leq arctan b - arctan a \leq \frac{b - a}{1 + a ^{2}}$ .
En déduire que pour tout $x \in] 0; + \infty [$ : $\frac{x}{1 + x ^{2}} \leq arctan x \leq x$ .
Montrer que pour tout $x \in] 0; + \infty [$ : $\frac{x + 1 - 1}{x} < \frac{1}{2}$ .
Montrer que pour tout $x \in [0; + \infty [$ : $- x \leq cos x - 1 \leq x$ , puis que $sin x \leq x$ et enfin que $1 - \frac{x ^{2}}{2} \leq cos x$ .

Indices

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1 Indice 1

Chaque encadrement se demontre en appliquant le theoreme des accroissements finis a une fonction bien choisie sur un intervalle.

2 Indice 2

Pour la question 1, prends $\\varphi(t)=\\arctan t$ dont la derivee est $\\dfrac{1}{1+t^2}$, puis encadre $\\dfrac{1}{1+c^2}$ grace a $a

3 Indice 3

Pour les inegalites sur $\\cos$ et $\\sin$, applique le TAF a $\\cos$ puis $\\sin$ sur $[0;x]$ et encadre le facteur $-\\sin c$ ou $\\cos c$ ; la derniere inegalite s'obtient en etudiant $\\theta(t)=\\cos t+\\tfrac{t^2}{2}-1$.

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Chaque encadrement se demontre en appliquant le theoreme des accroissements finis a une fonction bien choisie sur un intervalle.

Pour la question 1, prends $v a r p hi (t) = a r c t an t$ dont la derivee est $df r a c 1 1 + t^{2}$ , puis encadre $df r a c 1 1 + c^{2}$ grace a $a < c < b$ .

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