Théorème de Cauchy via Rolle

Difficile
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Énoncé

Soient et deux fonctions dérivables sur telles que . Soit avec et ne s'annulant pas. Montrer qu'il existe tel que :

Indices

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1 Indice 1
Après avoir mis l'égalité sous forme de produit en croix, cherche une fonction auxiliaire $h(t)$ construite à partir de $f$ et $g$ dont la dérivée fera apparaître exactement l'expression $f'(c)g(x)-g'(c)f(x)$.
2 Indice 2
Essaie $h(t) = f(t)g(x) - g(t)f(x)$ (avec $x$ fixé) ; vérifie que $h(0)=0$ grâce à $f(0)=g(0)=0$, et que $h(x)=0$ également.
3 Indice 3
Applique le théorème de Rolle à $h$ sur $[0,x]$ pour obtenir un $c$ tel que $h'(c)=0$, puis réarrange l'égalité pour isoler $\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

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La méthode — par où commencer

Après avoir mis l'égalité sous forme de produit en croix, cherche une fonction auxiliaire construite à partir de et dont la dérivée fera apparaître exactement l'expression .

Essaie (avec fixé) ; vérifie que grâce à , et que également.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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