Soit n ∈ N ∗ ; on considère la fonction f n : [ 0 ; 1 ] → R définie par f n ( x ) = x n sin ( π x ) . Montrer qu'il existe un unique α n ∈ ] 0 ; 1 [ tel que f n ′ ( α n ) = 0 . Montrer que f n ( α n ) = − π n ( α n ) n + 1 cos ( π α n ) . Calculer n → + ∞ lim f n ( α n ) .

Point critique de $x^n\sin(\pi x)$ et limite associée

Difficile

Énoncé

Soit $n \in N^{*}$ ; on considère la fonction $f_{n} : [0; 1] \to R$ définie par $f_{n} (x) = x^{n} sin (π x)$ .

Montrer qu'il existe un unique $α_{n} \in] 0; 1 [$ tel que $f_{n}^{'} (α_{n}) = 0$ .
Montrer que $f_{n} (α_{n}) = - π \frac{( α _{n} ) ^{n + 1}}{n} cos (π α_{n})$ .
Calculer $n \to + \infty lim f_{n} (α_{n})$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'existence, vérifie que $f_n(0)=f_n(1)=0$ et applique le théorème de Rolle sur $[0;1]$.

2 Indice 2

Pour l'unicité, calcule $f_n'(x)$, factorise par $x^{n-1}$, puis étudie le signe de $g(x)=n\sin(\pi x)+\pi x\cos(\pi x)$ en séparant les intervalles $]0;1/2]$ et $[1/2;1[$.

3 Indice 3

Pour la question 2, repars de $f_n'(\alpha_n)=0$ pour isoler $\sin(\pi\alpha_n)$ en fonction de $\cos(\pi\alpha_n)$, puis multiplie par $(\alpha_n)^n$.

4 Indice 4

Pour la limite, majore $|f_n(\alpha_n)|$ en utilisant $0<\alpha_n<1$ et $|\cos(\pi\alpha_n)|\leq 1$, puis applique le théorème des gendarmes.

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Pour l'existence, vérifie que $f_{n} (0) = f_{n} (1) = 0$ et applique le théorème de Rolle sur $[0; 1]$ .

Pour l'unicité, calcule $f_{n}^{'} (x)$ , factorise par $x^{n - 1}$ , puis étudie le signe de $g (x) = n sin (π x) + π x cos (π x)$ en séparant les intervalles $] 0; 1/2]$ et $[1/2; 1 [$ .

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