Étude de $f(x) = (x-1)e^x + 2$ — Bac Cameroun 2023, Exercice 2

Exercice 2 — Étude d'une fonction mêlant polynôme et exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(x-1)e^x+2$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\bar{i},\bar{j})$.

Partie A — Limites et asymptotes

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Préciser l'existence d'éventuelles asymptotes horizontales.
2. Montrer que la droite d'équation $y=2$ est une asymptote à $C_f$ en $-\infty$.

Partie B — Dérivée et tableau de variations

3. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
4. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$ (avec les limites aux bornes).
5. En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que $\alpha \in ]-3;-2[$.

Partie C — Tangente et application du TAF

6. Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=1$.
7. En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ sur $[0;1]$, montrer qu'il existe $c\in ]0;1[$ tel que $f^{\prime }(c)=2-e$. Vérifier la cohérence avec la valeur trouvée pour $f^{\prime }$.