Étude complète d'une fonction — situation industrielle à Casablanca

Difficile Inspiré BAC Cameroun
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Exercice inspiré d'un BAC Cameroun
Source-style : BAC Cameroun Série C 2023
Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 6 — Optimisation et étude complète de fonction

Une entreprise industrielle basée à Casablanca modélise son coût de production journalier (en milliers de dirhams) par la fonction :

C(x) = - 6 + 9x + 2, où x [0, 5] représente la quantité produite (en tonnes).

Le prix de vente est modélisé par la fonction recette : R(x) = 5x (en milliers de dirhams).

On définit la fonction bénéfice : B(x) = R(x) - C(x).

  1. Partie A — Étude du coût
    a. Calculer C'(x) et étudier les variations de C sur [0, 5].
    b. Déterminer la quantité x₀ pour laquelle le coût est minimal sur [0, 5] et calculer ce coût minimal.
  2. Partie B — Étude du bénéfice
    a. Exprimer B(x) et calculer B'(x).
    b. Étudier le signe de B'(x) sur [0, 5] et dresser le tableau de variations de B.
    c. Déterminer la quantité produite qui maximise le bénéfice. Quel est ce bénéfice maximal ?
  3. Partie C — Seuil de rentabilité
    a. Montrer que l'équation B(x) = 0 peut s'écrire - 6 + 4x + 2 = 0.
    b. Vérifier que x = 2 n'est pas solution, puis montrer par le théorème des valeurs intermédiaires que B s'annule sur ]0, 1[ et sur ]4, 5[.
    c. En appliquant le théorème de Rolle à B sur [1, 4], montrer qu'il existe un réel c ]1, 4[ tel que B'(c) = 0, et déterminer c. Conclure sur le signe de B sur [1, 4].

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour C'(x), dérive terme à terme puis factorise sous la forme $3(x-1)(x-3)$ pour étudier le signe.
2 Indice 2
Pour B(x), remplace R(x) et C(x) par leurs expressions puis dérive pour obtenir $B'(x) = -3x^2+12x-4$. Calcule le discriminant pour trouver ses racines.
3 Indice 3
Pour la partie C, remplace B(x) par son expression pour poser l'équation, teste x=2, puis utilise le théorème des valeurs intermédiaires (calcule les images aux bornes des intervalles) et enfin le théorème de Rolle sur [1,4].

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La méthode — par où commencer

Pour C'(x), dérive terme à terme puis factorise sous la forme pour étudier le signe.

Pour B(x), remplace R(x) et C(x) par leurs expressions puis dérive pour obtenir . Calcule le discriminant pour trouver ses racines.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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