Problème complet BAC — f(x) = xe^(1-x)

Difficile
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Énoncé

Soit définie sur .

  1. Calculer les limites de f en et en .
  2. Calculer et étudier son signe.
  3. Dresser le tableau de variations complet et déterminer le maximum de f.
  4. Étudier les asymptotes de la courbe de f.
  5. Calculer l'aire sous la courbe entre et (en u.a.).

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour les limites, réécris $f(x)=x\cdot e^{1-x}$ en $\dfrac{ex}{e^x}$ pour $+\infty$ et utilise les croissances comparées ; pour $-\infty$, étudie le signe de chaque facteur.
2 Indice 2
Pour la dérivée, utilise la formule du produit $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u=x$ et $v=e^{1-x}$ (attention à la dérivée de $1-x$), puis factorise par $e^{1-x}$.
3 Indice 3
Pour l'aire, utilise une intégration par parties avec $u=x$ et $v'=e^{1-x}$ (donc $v=-e^{1-x}$), puis évalue le résultat entre 0 et 2.

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La méthode — par où commencer

Pour les limites, réécris en pour et utilise les croissances comparées ; pour , étudie le signe de chaque facteur.

Pour la dérivée, utilise la formule du produit avec et (attention à la dérivée de ), puis factorise par .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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