Étude d'une fonction avec paramètre réel et optimisation

Exercice 6 — Famille de fonctions paramétrées et optimisation

Pour tout réel m, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f_m(x)=x^3-3m{x}^2+3m^{2}x-1$

1. Calculer $f_m^{\prime }(x)$. Montrer que $f_m^{\prime }(x)=3(x-m{)}^2$.
2. Cas m = 0 : Étudier les variations de $f_0$ et montrer que $f_0$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ malgré l'annulation de sa dérivée en $x=0$.
3. Cas général : Montrer que pour tout réel m, $f_m$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Conclure que pour tout $m\in \mathbb{R}$, l'équation $f_m(x)=0$ admet exactement une solution réelle ${\alpha }_m$.
4. On pose $g(m)=f_m(1)=$ valeur de $f_m$ en $x=1$. Calculer $g(m)$, puis trouver la valeur de m qui minimise $|g(m)|$. (On cherche le paramètre m pour lequel la courbe $C_{f_m}$ passe le plus près de $(1;0)$.)