Étude de $f(x) = (x-1)e^x + 1$ — Bac Cameroun 2023, Exercice 4

Exercice 4 — Étude complète d'une fonction à base exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x-1)e^x+1$.

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Partie A — Limites et asymptotes
   a. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
   b. Montrer que la droite d'équation $y=1$ est une asymptote à $C_f$ en $-\infty$. Étudier la position de $C_f$ par rapport à cette asymptote.
2. Partie B — Dérivation et variations
   a. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=x{e}^x$.
   b. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.
3. Partie C — Tangente et point particulier
   a. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$.
   b. Montrer que $(T)$ est tangente à $C_f$ en ce point et préciser si $C_f$ traverse ou non $(T)$ en ce point.
4. Partie D — Équation
   Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, et donner un encadrement de $\alpha$ à l'unité près.