Étude d'une fonction rationnelle simple — Bac Cameroun 2023

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

Partie A — Étude préliminaire

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de f.
2. Calculer les limites de f en $-\infty$, en $+\infty$, et en 2 (à gauche et à droite). En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $C_f$.
3. Effectuer la division euclidienne de $x^2-3x+4$ par $x-2$, puis en déduire une asymptote oblique à $C_f$.

Partie B — Dérivée et variations

4. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in D_f$.
5. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de f.
6. Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.