Démonstration par le TAF, suite et encadrement de ln 2

Exercice 6 — Accroissements finis, suite et encadrement de ln 2

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose : $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$, c'est-à-dire $u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{2n}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\ln (1+x)$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et vérifier que $f$ satisfait les hypothèses du théorème des accroissements finis sur tout intervalle $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$ pour $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$.
2. En appliquant le TAF à $f$ sur $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$, montrer qu'il existe $c_k\in \left]\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right[$ tel que :
   $\ln \left(1+\frac{k+1}{n}\right)-\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+c_k}$.
3. En utilisant l'encadrement $\frac{k}{n}<c_k<\frac{k+1}{n}$, montrer que pour tout $k\in \{0,\dots ,n-1\}$ :
   $\frac{1}{2n+k+1}<\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+c_k}<\frac{1}{2n+k}$.
   (On posera $j=n+k$ pour simplifier.)
4. En sommant sur $k$ de $0$ à $n-1$, montrer que :
   $u_{n+1}-\frac{1}{2n+1}<\ln (2)<u_n$.
   En déduire que la suite $(u_n)$ converge et que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ln (2)$.
5. Calculer $u_4$ sous forme de fraction et vérifier que $0,68<\ln (2)<0,70$. (On admettra $\ln (2)\approx 0,6931$.)