Étude d'une fonction rationnelle simple — Bac France 2024

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$. On mettra $f^{\prime }(x)$ sous la forme d'une fraction irréductible.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et en déduire les variations de f sur $]-\infty ;2[$ et sur $]2;+\infty [$.
3. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est une asymptote oblique à la courbe $C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
4. Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.