Théorème de Rolle, TAF et inégalités logarithmiques

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par : $g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}$.
1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et $g^{\prime \prime }(x)$.
2. Étudier le signe de $g^{\prime \prime }(x)$ sur $[0;1]$. En déduire les variations de $g^{\prime }$ sur $[0;1]$, puis montrer que $g^{\prime }(x)\ge 0$ pour tout $x\in [0;1]$.
3. En déduire les variations de $g$ sur $[0;1]$, puis montrer que pour tout $x\in [0;1]$ : $x-\frac{x^2}{2}\le \ln (1+x)\le x$.