Application du théorème des accroissements finis et inégalités — Bac France 2024

Exercice 4 — Théorème des accroissements finis et inégalités

On considère la fonction f définie sur $[0;+\infty [$ par : $f(x)=\ln (1+x)$.

1. Vérifier que f est continue sur $[0;1]$ et dérivable sur $]0;1[$. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Appliquer le théorème des accroissements finis à f sur $[0;1]$. Que peut-on conclure sur l'existence d'un réel c ?
3. En utilisant le fait que $f^{\prime }$ est strictement décroissante sur $]0;1[$, montrer que pour tout $x>0$ :
   $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$.
4. Déduire de la question précédente les limites suivantes :
   (a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}$
   (b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\cdot \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$
5. Un ingénieur à Casablanca modélise un taux de croissance par $g(n)=n\cdot \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ pour $n\ge 1$ entier. Montrer que g est strictement croissante et majorée par 1. Que peut-on dire de la suite $(g(n){)}_{n\ge 1}$ ?