Dérivabilité en un point et équation de tangente

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x|x|+2x$

On rappelle que $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

1. Exprimer $f(x)$ sans valeur absolue selon que $x\ge 0$ ou $x<0$.
2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ en calculant les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite.
3. En déduire si $f$ admet une tangente en $x=0$. Si oui, donner son équation.
4. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x>0$ et pour $x<0$, puis dresser le tableau de signe de $f^{\prime }$.