Étude complète d'une fonction logarithmique — optimisation

Exercice 5 — Fonction logarithmique On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x^2-2x\ln (x)$. 1. Étudier les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$ (on admettra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$). 2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. 3. Étudier les variations de $f$ et sa convexité. 4. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$. 5. On pose $g(x)=\frac{f(x)}{x}=x-2\ln (x)$ pour $x>0$. Montrer que $g$ est convexe sur $]0;+\infty [$ et déterminer son minimum.