Suite récurrente et inégalité des accroissements finis

Soit $f$ la fonction définie sur $I=[1;+\infty [$ par $f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x}}$, et $(U_n)$ la suite définie par $U_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_{n+1}=f(U_n)$.

1. Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha \in \left]1;2\right[$.
2. Montrer que pour tout $x\in [1;+\infty [$ : $|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{2}$.
3. a) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $1\le U_n\le 2$. b) En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $|U_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|U_n-\alpha |$. c) Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{U}_n$.