Suite récurrente avec racine carrée : convergence et limite

Intermédiaire
Partager

Énoncé

Soit la suite définie par et, pour tout , .

  1. Montrer que pour tout : .

  2. Montrer que est croissante.

  3. En déduire que converge et déterminer sa limite.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour l'encadrement, pense à utiliser un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_0$ satisfait l'encadrement, puis suppose que $1 \leq u_n \leq 3$ et montre que cela entraîne $1 \leq u_{n+1} \leq 3$.
2 Indice 2
Pour la monotonie, compare $u_{n+1}$ et $u_n$ en étudiant le signe de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ (car les termes sont positifs). Remplace $u_{n+1}^2$ par $2u_n + 3$ et factorise l'expression obtenue.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour l'encadrement, pense à utiliser un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que satisfait l'encadrement, puis suppose que et montre que cela entraîne .

Pour la monotonie, compare et en étudiant le signe de (car les termes sont positifs). Remplace par et factorise l'expression obtenue.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Suite homographique ramenée à une suite arithmétique Tous les exercices du chapitre Limite d'une somme via décomposition en éléments simples