Suite homographique ramenée à une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-\frac{9}{u_n+5}$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>-2$.

2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n=\frac{1}{u_n+2}$. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique.

3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.