Suite récurrente homographique et suite géométrique auxiliaire

Énoncé

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=\frac{8(u_n-1)}{u_n+2}.$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $2<u_n<4$.

2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n=\frac{u_n-4}{u_n-2}$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.

3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$, et déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.