Suite récurrente avec racine carrée

Difficile
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Soit la suite définie par et, pour tout :

  1. Montrer que pour tout : .

  2. Montrer que est croissante.

  3. En déduire que converge et déterminer sa limite.

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, procède par récurrence : vérifie l'initialisation avec $u_0=1$, puis suppose $1\leq u_n\leq 3$ et applique la fonction racine (croissante) à l'encadrement de $2u_n+3$.
2 Indice 2
Pour la question 2, calcule $u_{n+1}^2-u_n^2$ et factorise l'expression obtenue en $-(u_n-3)(u_n+1)$ pour en déduire le signe.
3 Indice 3
Pour la question 3, utilise le théorème de convergence des suites croissantes majorées, puis résous $\ell^2-2\ell-3=0$ en éliminant la racine incompatible avec l'encadrement.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, procède par récurrence : vérifie l'initialisation avec , puis suppose et applique la fonction racine (croissante) à l'encadrement de .

Pour la question 2, calcule et factorise l'expression obtenue en pour en déduire le signe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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