Énoncé On considère la suite ( u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout n ∈ N : u n + 1 = 2 u n + 3. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : u n ≥ n . En déduire n → + ∞ lim u n .

Minoration par n et limite infinie

Facile

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 0$ et, pour tout $n \in N$ :

$u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3.$

Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $u_{n} \geq n$ .
En déduire $n \to + \infty lim u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 \geq 0$. Ensuite, suppose que $u_n \geq n$ et utilise la relation $u_{n+1} = 2u_n + 3$ pour montrer que $u_{n+1} \geq n+1$.

2 Indice 2

À l'hérédité, tu as $u_{n+1} = 2u_n + 3 \geq 2n + 3$ grâce à l'hypothèse. Compare maintenant $2n + 3$ avec $n+1$ pour conclure l'inégalité recherchée.

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Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_{0} \geq 0$ . Ensuite, suppose que $u_{n} \geq n$ et utilise la relation $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ pour montrer que $u_{n + 1} \geq n + 1$ .

À l'hérédité, tu as $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 \geq 2 n + 3$ grâce à l'hypothèse. Compare maintenant $2 n + 3$ avec $n + 1$ pour conclure l'inégalité recherchée.

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