Énoncé Pour tout n ∈ N ∗ , on pose : S n = n 2 + 1 n + n 2 + 2 n + ⋯ + n 2 + n n = k = 1 ∑ n n 2 + k n . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : n 2 + n n 2 ≤ S n ≤ n 2 + 1 n 2 . En déduire n → + ∞ lim S n .

Encadrement et théorème des gendarmes

Intermédiaire

Énoncé

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose :

$S_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1} + \frac{n}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n} = k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k} .$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $\frac{n ^{2}}{n ^{2} + n} \leq S_{n} \leq \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$ .
En déduire $n \to + \infty lim S_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Compare chaque terme $\dfrac{n}{n^{2}+k}$ de la somme : quel est le plus petit dénominateur possible ? le plus grand ? Utilise ces bornes pour encadrer chaque fraction.

2 Indice 2

Une fois que tu as encadré chaque terme $\dfrac{n}{n^{2}+k}$, additionne ces $n$ inégalités. Tu obtiendras $n$ fois la borne inférieure et $n$ fois la borne supérieure.

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Compare chaque terme $\frac{n}{n ^{2} + k}$ de la somme : quel est le plus petit dénominateur possible ? le plus grand ? Utilise ces bornes pour encadrer chaque fraction.

Une fois que tu as encadré chaque terme $\frac{n}{n ^{2} + k}$ , additionne ces $n$ inégalités. Tu obtiendras $n$ fois la borne inférieure et $n$ fois la borne supérieure.

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