Limite d'une somme via décomposition en éléments simples

Pour calculer cette somme, commence par décomposer la fraction $\frac{1}{k(k+2)}$ en éléments simples sous la forme $\frac{a}{k}+\frac{b}{k+2}$. Tu verras apparaître une simplification remarquable.

Une fois la décomposition faite, écris les premiers termes de $u_n=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$ pour $k=1,2,3,4$. Observe quels termes se compensent : c'est une somme télescopique avec un décalage de 2.