On définit deux suites par, pour tout n ∈ N ∗ : u n = k = 1 ∑ 2 n k 2 ( − 1 ) k et v n = k = 1 ∑ 2 n + 1 k 2 ( − 1 ) k . Montrer que ( u n ) est décroissante et que ( v n ) est croissante. Montrer que ( u n ) et ( v n ) sont adjacentes (et donc convergent vers une même limite).

Suites adjacentes (séries alternées partielles)

Difficile

On définit deux suites par, pour tout $n \in N^{*}$ :

$u_{n} = k = 1 \sum 2 n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ^{2}} et v_{n} = k = 1 \sum 2 n + 1 \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ^{2}} .$

Montrer que $(u_{n})$ est décroissante et que $(v_{n})$ est croissante.
Montrer que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes (et donc convergent vers une même limite).

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1 Indice 1

Pour etudier la monotonie, calcule $u_{n+1}-u_n$ en identifiant les termes supplementaires ajoutes dans la somme.

2 Indice 2

Compare les valeurs de $\dfrac{1}{(2n+1)^2}$ et $\dfrac{1}{(2n+2)^2}$ pour determiner le signe de $u_{n+1}-u_n$.

3 Indice 3

Pour l'adjacence, exprime $u_n-v_n$ comme le dernier terme de la somme de $v_n$ et etudie sa limite.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour etudier la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en identifiant les termes supplementaires ajoutes dans la somme.

Compare les valeurs de $\frac{1}{( 2 n + 1 ) ^{2}}$ et $\frac{1}{( 2 n + 2 ) ^{2}}$ pour determiner le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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