Énoncé Pour tout entier k ∈ N ∗ , on pose U k = k ( k + 1 ) 1 . Vérifier que pour tout k ∈ N ∗ : U k = k 1 − k + 1 1 . Pour tout n ∈ N ∗ , on pose S n = k = 1 ∑ n U k . Calculer S n en fonction de n . Déterminer n → + ∞ lim S n .

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Facile

Énoncé

Pour tout entier $k \in N^{*}$ , on pose $U_{k} = \frac{1}{k ( k + 1 )}$ .

Vérifier que pour tout $k \in N^{*}$ : $U_{k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .
Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} = k = 1 \sum n U_{k}$ .
1. Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ .
2. Déterminer $n \to + \infty lim S_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour vérifier l'égalité $U_k = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$, mets les deux fractions au même dénominateur $k(k+1)$ et observe ce qui se passe au numérateur.

2 Indice 2

Pour calculer $S_n$, écris les premiers termes de la somme : $\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots$ Remarque que beaucoup de termes s'annulent entre eux !

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Pour vérifier l'égalité $U_{k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ , mets les deux fractions au même dénominateur $k (k + 1)$ et observe ce qui se passe au numérateur.

Pour calculer $S_{n}$ , écris les premiers termes de la somme : $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots$ Remarque que beaucoup de termes s'annulent entre eux !

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