Suite des racines de $x^n - x - 1$

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ avec $n\ge 2$. On considère la fonction $f_n:[1;+\infty [\to \mathbb{R}$ définie par $f_n(x)=x^n-x-1$.

1. Montrer qu'il existe un unique ${\alpha }_n>1$ tel que $f_n({\alpha }_n)=0$.

2. Montrer que $f_{n+1}({\alpha }_n)>0$.

3. Montrer que la suite $({\alpha }_n)$ est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente ; on note $L$ sa limite.

4. Supposons $L>1$ ; montrer qu'on aboutit à une contradiction, et conclure que $L=1$.