Énoncé Soient ( u n ) n ∈ N ∗ et ( v n ) n ∈ N ∗ définies par : u n = k = 1 ∑ n k 3 1 = 1 + 2 3 1 + ⋯ + n 3 1 et v n = u n + n 2 1 . Montrer que ( u n ) est croissante et ( v n ) est décroissante. Montrer que ( u n ) et ( v n ) sont convergentes et ont la même limite.

Suites adjacentes (série des inverses des cubes)

Intermédiaire

Énoncé

Soient $(u_{n})_{n \in N^{*}}$ et $(v_{n})_{n \in N^{*}}$ définies par :

$u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{3}} = 1 + \frac{1}{2 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}} et v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n ^{2}} .$

Montrer que $(u_{n})$ est croissante et $(v_{n})$ est décroissante.
Montrer que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont convergentes et ont la même limite.

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une suite est croissante ou décroissante, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ puis $v_{n+1} - v_n$ et étudie leurs signes. Pense à utiliser les définitions données.

2 Indice 2

Pour $v_{n+1} - v_n$, exprime tout en fonction de $u_n$ : tu obtiendras $\dfrac{1}{(n+1)^3} + \dfrac{1}{(n+1)^2} - \dfrac{1}{n^2}$. Réduis au même dénominateur $n^2(n+1)^3$ pour étudier le signe du numérateur.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer qu'une suite est croissante ou décroissante, calcule la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ puis $v_{n + 1} - v_{n}$ et étudie leurs signes. Pense à utiliser les définitions données.

Pour $v_{n + 1} - v_{n}$ , exprime tout en fonction de $u_{n}$ : tu obtiendras $\frac{1}{( n + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}}$ . Réduis au même dénominateur $n^{2} (n + 1)^{3}$ pour étudier le signe du numérateur.

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