Énoncé Soit k ∈ N avec k ≥ 2 . Montrer que k 2 1 ≤ ( k − 1 ) k 1 , puis vérifier que ( k − 1 ) k 1 = k − 1 1 − k 1 . On pose pour n ∈ N ∗ : U n = k = 1 ∑ n k 2 1 = 1 + 2 2 1 + ⋯ + n 2 1 . Montrer que ( U n ) est croissante. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : U n ≤ 2 − n 1 . En déduire que ( U n ) est convergente.

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Intermédiaire

Énoncé

Soit $k \in N$ avec $k \geq 2$ .

Montrer que $\frac{1}{k ^{2}} \leq \frac{1}{( k - 1 ) k}$ , puis vérifier que $\frac{1}{( k - 1 ) k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ .
On pose pour $n \in N^{*}$ : $U_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}$ .
1. Montrer que $(U_{n})$ est croissante.
2. Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $U_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}$ .
3. En déduire que $(U_{n})$ est convergente.

Indices

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1 Indice 1

Pour l'inégalité $\dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{(k-1)k}$, commence par comparer les dénominateurs : lequel est le plus grand entre $k^2$ et $(k-1)k$ quand $k \geq 2$ ?

2 Indice 2

Pour la majoration de $U_n$, utilise l'inégalité et la décomposition pour écrire $\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k^2} \leq \displaystyle\sum_{k=2}^{n} \left(\dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}\right)$, puis observe que cette somme se simplifie (somme télescopique).

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Pour l'inégalité $\frac{1}{k ^{2}} \leq \frac{1}{( k - 1 ) k}$ , commence par comparer les dénominateurs : lequel est le plus grand entre $k^{2}$ et $(k - 1) k$ quand $k \geq 2$ ?

Pour la majoration de $U_{n}$ , utilise l'inégalité et la décomposition pour écrire $k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2}} \leq k = 2 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k})$ , puis observe que cette somme se simplifie (somme télescopique).

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