Énoncé Pour tout entier k ∈ N ∗ , on pose u k = k ( k + 1 ) 1 . Vérifier que pour tout k ∈ N ∗ : u k = k 1 − k + 1 1 . Pour tout n ∈ N ∗ , on pose S n = k = 1 ∑ n u k . Calculer S n en fonction de n , puis déterminer n → + ∞ lim S n .

Somme télescopique et sa limite

Facile

Pour tout entier $k \in N^{*}$ , on pose $u_{k} = \frac{1}{k ( k + 1 )}$ .

Vérifier que pour tout $k \in N^{*}$ : $u_{k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .
Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} = k = 1 \sum n u_{k}$ . Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer $n \to + \infty lim S_{n}$ .

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