Énoncé Pour tout n ∈ N ∗ , on pose : S n = n 2 + 1 n + n 2 + 2 n + ⋯ + n 2 + n n = k = 1 ∑ n n 2 + k n . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : n 2 + n n 2 ≤ S n ≤ n 2 + 1 n 2 . Déterminer la limite de S n .

Encadrement d'une somme et théorème des gendarmes

Intermédiaire

Énoncé

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose :

$S_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1} + \frac{n}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n} = k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k} .$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $\frac{n ^{2}}{n ^{2} + n} \leq S_{n} \leq \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$ .
Déterminer la limite de $S_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque terme $\dfrac{n}{n^2+k}$, encadre d'abord le dénominateur $n^2+k$ : quel est le plus petit et le plus grand dénominateur quand $k$ varie de $1$ à $n$ ?

2 Indice 2

Une fois l'encadrement trouvé pour un terme, inverse les inégalités (attention au sens !) puis multiplie par $n$. Enfin, somme ces inégalités pour les $n$ termes.

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Pour chaque terme $\frac{n}{n ^{2} + k}$ , encadre d'abord le dénominateur $n^{2} + k$ : quel est le plus petit et le plus grand dénominateur quand $k$ varie de $1$ à $n$ ?

Une fois l'encadrement trouvé pour un terme, inverse les inégalités (attention au sens !) puis multiplie par $n$ . Enfin, somme ces inégalités pour les $n$ termes.

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