Pour tout n ∈ N ∗ , on pose : S n = n 2 + 1 n + n 2 + 2 n + ⋯ + n 2 + n n = k = 1 ∑ n n 2 + k n . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : n 2 + n n 2 ≤ S n ≤ n 2 + 1 n 2 . Déterminer la limite de ( S n ) .

Encadrement (théorème des gendarmes) d'une somme

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Énoncé

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose :

$S_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1} + \frac{n}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n} = k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k} .$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $\frac{n ^{2}}{n ^{2} + n} \leq S_{n} \leq \frac{n ^{2}}{n ^{2} + 1}$ .
Déterminer la limite de $(S_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Observe que dans chaque terme $\dfrac{n}{n^2+k}$, le dénominateur change selon $k$. Compare le plus petit et le plus grand dénominateur pour encadrer chaque fraction, puis somme ces $n$ inégalités.

2 Indice 2

Le plus grand dénominateur est $n^2+n$ (quand $k=n$) et le plus petit est $n^2+1$ (quand $k=1$). Écris que $\dfrac{n}{n^2+n} \leq \dfrac{n}{n^2+k} \leq \dfrac{n}{n^2+1}$ puis multiplie tout par $n$.

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Observe que dans chaque terme $\frac{n}{n ^{2} + k}$ , le dénominateur change selon $k$ . Compare le plus petit et le plus grand dénominateur pour encadrer chaque fraction, puis somme ces $n$ inégalités.

Le plus grand dénominateur est $n^{2} + n$ (quand $k = n$ ) et le plus petit est $n^{2} + 1$ (quand $k = 1$ ). Écris que $\frac{n}{n ^{2} + n} \leq \frac{n}{n ^{2} + k} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}$ puis multiplie tout par $n$ .

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