Suite croissante et majorée : convergence (somme des 1/k²)

Pour tout entier $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $U_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$.

1. Montrer que la suite $(U_n)$ est croissante.

2. Montrer que pour tout $k\ge 2$ : $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{(k-1)k}$, puis que $\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$. En déduire que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $U_n\le 2-\frac{1}{n}$.

3. En déduire que $(U_n)$ est convergente.