Minoration par récurrence et limite infinie

Facile
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Soit la suite définie par et, pour tout , .

  1. Montrer que pour tout : .

  2. En déduire la limite de .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $u_n \geq n$, pense à utiliser un raisonnement par récurrence. Commence par vérifier que $u_0 \geq 0$, puis suppose que $u_n \geq n$ et travaille sur $u_{n+1}$.
2 Indice 2
Pour l'hérédité, utilise la relation de récurrence : si $u_n \geq n$, alors $u_{n+1} = 2u_n + 3 \geq 2n + 3$. Compare maintenant $2n + 3$ avec $n+1$ pour conclure l'étape.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que , pense à utiliser un raisonnement par récurrence. Commence par vérifier que , puis suppose que et travaille sur .

Pour l'hérédité, utilise la relation de récurrence : si , alors . Compare maintenant avec pour conclure l'étape.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Produit télescopique et sa limite Tous les exercices du chapitre Suite croissante et majorée : convergence (somme des 1/k²)