Pour tout entier n ≥ 2 , on pose : π n = ( 1 − 2 2 1 ) ( 1 − 3 2 1 ) ⋯ ( 1 − n 2 1 ) = k = 2 ∏ n ( 1 − k 2 1 ) . Calculer π n en fonction de n , puis déterminer sa limite.

Produit télescopique et sa limite

Intermédiaire

Pour tout entier $n \geq 2$ , on pose :

$π_{n} = (1 - \frac{1}{2 ^{2}}) (1 - \frac{1}{3 ^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = k = 2 \prod n (1 - \frac{1}{k ^{2}}) .$

Calculer $π_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer sa limite.

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