Énoncé Soit a ∈ R . On pose, pour n ∈ N ∗ : S n = n 2 1 k = 1 ∑ n E ( k a ) , où E désigne la partie entière. Déterminer n → + ∞ lim S n . Soit ( u n ) la suite définie par u n = n − E ( n ) pour n ∈ N . Déterminer n → + ∞ lim u n 2 + 2 n .

Limites avec la fonction partie entière

Difficile

Énoncé

Soit $a \in R$ . On pose, pour $n \in N^{*}$ : $S_{n} = \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n E (k a)$ , où $E$ désigne la partie entière. Déterminer $n \to + \infty lim S_{n}$ .
Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n} = n - E (n)$ pour $n \in N$ . Déterminer $n \to + \infty lim u_{n^{2} + 2 n}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour 1), utilise l'encadrement $x-1

2 Indice 2

Pour 2), encadre $n^2+2n$ entre $n^2$ et $(n+1)^2$ pour déterminer $E(\\sqrt{n^2+2n})$.

3 Indice 3

Une fois la partie entière connue, multiplie par la quantité conjuguée pour simplifier $\\sqrt{n^2+2n}-n$.

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Pour 1), utilise l'encadrement $x - 1 < E (x) l e q x$ appliqué à $x = k a$ pour chaque $k$ , puis somme et divise par $n^{2}$ pour appliquer le théorème des gendarmes.

Pour 2), encadre $n^{2} + 2 n$ entre $n^{2}$ et $(n + 1)^{2}$ pour déterminer $E (s q r t n^{2} + 2 n)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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