Suite croissante et majorée (série harmonique partielle)

Pour montrer que $(U_n)$ est croissante, calcule $U_{n+1}-U_n$. Écris d'abord les deux sommes explicitement : $U_{n+1}$ va de $\frac{1}{n+2}$ à $\frac{1}{2n+2}$, et $U_n$ va de $\frac{1}{n+1}$ à $\frac{1}{2n}$. Observe les termes qui apparaissent et disparaissent.

Pour la convergence, encadre chaque terme $\frac{1}{n+k}$ : comme $n+1\le n+k\le 2n$, tu as $\frac{1}{2n}\le \frac{1}{n+k}\le \frac{1}{n+1}$. Somme ces inégalités pour obtenir un encadrement de $U_n$, puis utilise le théorème des suites croissantes majorées.