Suite définie par une relation à trois termes

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Soit la suite telle que, pour tout :

Déterminer la limite de .

Indices

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1 Indice 1
Réécris la relation de récurrence sous la forme $U_{n+1} - U_n = U_n - U_{n-1}$. Que remarques-tu sur les différences successives entre deux termes consécutifs ?
2 Indice 2
Pose $V_n = U_{n+1} - U_n$ et montre que $(V_n)$ est constante. Quelle est alors la nature de la suite $(U_n)$ ? Calcule ensuite sa raison avec $U_1$ et $U_2$.

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La méthode — par où commencer

Réécris la relation de récurrence sous la forme . Que remarques-tu sur les différences successives entre deux termes consécutifs ?

Pose et montre que est constante. Quelle est alors la nature de la suite ? Calcule ensuite sa raison avec et .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Suite croissante et majorée (série harmonique partielle) Tous les exercices du chapitre Sommes télescopiques et somme d'arctangentes