Énoncé Soit ( u n ) la suite définie par u n = k = 1 ∑ n k ( k + 2 ) 1 . Déterminer n → + ∞ lim u n . Soit ( v n ) la suite définie par v n = k = 1 ∑ n arctan ( k 2 + k + 1 1 ) . Montrer que pour tout x ≥ 0 : arctan ( x + 1 ) − arctan ( x ) = arctan ( x 2 + x + 1 1 ) . Déterminer n → + ∞ lim v n .

Sommes télescopiques et somme d'arctangentes

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )}$ . Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n} = k = 1 \sum n arctan (\frac{1}{k ^{2} + k + 1})$ .
1. Montrer que pour tout $x \geq 0$ : $arctan (x + 1) - arctan (x) = arctan (\frac{1}{x ^{2} + x + 1})$ .
2. Déterminer $n \to + \infty lim v_{n}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour $u_n$, décompose $\dfrac{1}{k(k+2)}$ en éléments simples sous la forme $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)$ pour obtenir une somme télescopique.

2 Indice 2

Pour la question 2.a), pose $a=\arctan(x+1)$, $b=\arctan(x)$, calcule $\tan(a-b)$ avec la formule de soustraction des tangentes, et vérifie que $a-b$ reste dans $[0,\pi/2[$.

3 Indice 3

Pour la question 2.b), applique l'identité de 2.a) avec $x=k$ pour chaque terme de $v_n$ : la somme devient télescopique et se réduit à $\arctan(n+1)-\arctan(1)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour $u_{n}$ , décompose $\frac{1}{k ( k + 2 )}$ en éléments simples sous la forme $\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ pour obtenir une somme télescopique.

Pour la question 2.a), pose $a = arctan (x + 1)$ , $b = arctan (x)$ , calcule $tan (a - b)$ avec la formule de soustraction des tangentes, et vérifie que $a - b$ reste dans $[0, π /2 [$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Suite définie par une relation à trois termes Tous les exercices du chapitre Suite encadrée par une inégalité produit

Sommes télescopiques et somme d'arctangentes

Énoncé

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Sommes télescopiques et somme d'arctangentes

Énoncé

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯