Énoncé Soit ( u n ) une suite telle que, pour tout n ∈ N : ( 1 − u n ) u n + 1 ≥ 4 1 et u n ∈ ] 0 ; 1 [ . Montrer que pour tout x ∈ ] 0 ; 1 [ : ( 1 − x ) x ≤ 4 1 . Montrer que ( u n ) est convergente. Déterminer la limite de ( u n ) .

Suite encadrée par une inégalité produit

Difficile

Énoncé

Soit $(u_{n})$ une suite telle que, pour tout $n \in N$ :

$(1 - u_{n}) u_{n + 1} \geq \frac{1}{4} et u_{n} \in] 0; 1 [.$

Montrer que pour tout $x \in] 0; 1 [$ : $(1 - x) x \leq \frac{1}{4}$ .
Montrer que $(u_{n})$ est convergente.
Déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, essaie d'écrire $\dfrac{1}{4} - (1-x)x$ comme un carré parfait.

2 Indice 2

Pour la question 2, applique l'inégalité de la question 1 à $x = u_n$, puis compare avec l'hypothèse $(1-u_n)u_{n+1} \geq \dfrac{1}{4}$ pour en déduire une comparaison entre $u_n$ et $u_{n+1}$.

3 Indice 3

Pour la question 3, passe à la limite dans les deux inégalités obtenues et résous l'équation du second degré qui en résulte.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour la question 1, essaie d'écrire $\frac{1}{4} - (1 - x) x$ comme un carré parfait.

Pour la question 2, applique l'inégalité de la question 1 à $x = u_{n}$ , puis compare avec l'hypothèse $(1 - u_{n}) u_{n + 1} \geq \frac{1}{4}$ pour en déduire une comparaison entre $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Sommes télescopiques et somme d'arctangentes Tous les exercices du chapitre Suite homographique et suite arithmétique auxiliaire

Suite encadrée par une inégalité produit

Énoncé

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Suite encadrée par une inégalité produit

Énoncé

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯