Suite homographique et suite arithmétique auxiliaire

Énoncé

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=1-\frac{9}{u_n+5}.$

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>-2$.

2. Montrer que $(u_n)$ est convergente.

3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n=\frac{1}{u_n+2}$.

   1. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique.

   2. Calculer $u_n$ en fonction de $n$, puis préciser $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

4. On pose $S_n=\sum _{k=0}^n{u}_k{v}_k$. Montrer que $S_n=\frac{1}{3}(1-n^2)$, puis en déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.