Énoncé Soit ( u n ) la suite définie par u 0 = 3 et, pour tout n ∈ N : u n + 1 = u n + 2 8 ( u n − 1 ) . Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : 2 < u n < 4 . Étudier la monotonie de ( u n ) et en déduire qu'elle converge. Pour tout n ∈ N , on pose v n = u n − 2 u n − 4 . Montrer que ( v n ) est géométrique. Exprimer v n puis u n en fonction de n , et déterminer n → + ∞ lim u n . Montrer que pour tout n : 4 − u n + 1 ≤ 5 4 ( 4 − u n ) , en déduire que 4 − u n ≤ ( 5 4 ) n , puis retrouver n → + ∞ lim u n .

Suite homographique et suite géométrique auxiliaire

Difficile

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 3$ et, pour tout $n \in N$ :

$u_{n + 1} = \frac{8 ( u _{n} - 1 )}{u _{n} + 2} .$

Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $2 < u_{n} < 4$ .
Étudier la monotonie de $(u_{n})$ et en déduire qu'elle converge.
Pour tout $n \in N$ , on pose $v_{n} = \frac{u _{n} - 4}{u _{n} - 2}$ .
1. Montrer que $(v_{n})$ est géométrique.
2. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ , et déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .
Montrer que pour tout $n$ : $4 - u_{n + 1} \leq \frac{4}{5} (4 - u_{n})$ , en déduire que $4 - u_{n} \leq (\frac{4}{5})^{n}$ , puis retrouver $n \to + \infty lim u_{n}$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'encadrement, calcule $u_{n+1}-4$ et $u_{n+1}-2$ pour en etudier les signes.

2 Indice 2

La monotonie vient du signe de $u_{n+1}-u_n$, a mettre sous forme d'un quotient factorise.

3 Indice 3

Pour $(v_n)$, forme le rapport $\\dfrac{u_{n+1}-4}{u_{n+1}-2}$ et simplifie pour faire apparaitre une raison constante.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'encadrement, calcule $u_{n + 1} - 4$ et $u_{n + 1} - 2$ pour en etudier les signes.

La monotonie vient du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , a mettre sous forme d'un quotient factorise.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points