Exercice 6. Suite ( t n ) definie par t 0 = 3 et t n + 1 = t n + 2 t n + 6 . 1) Calculer t 1 , t 2 , t 3 et conjecturer un encadrement. 2) Montrer par recurrence que 1 ≤ t n ≤ 3 . 3) a) Montrer que t n + 1 − 2 = t n + 2 − ( t n − 2 ) . b) En deduire ∣ t n + 1 − 2∣ ≤ 3 1 ∣ t n − 2∣ . c) Montrer par recurrence que ∣ t n − 2∣ ≤ ( 3 1 ) n ∣ t 0 − 2∣ , en deduire que ( t n ) converge et donner sa limite.

Suite bornée, récurrence forte et convergence — niveau difficile

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 6. Suite

(t_{n})

definie par

t_{0} = 3

t_{n + 1} = \frac{t _{n} + 6}{t _{n} + 2}

. 1) Calculer

t_{1}, t_{2}, t_{3}

et conjecturer un encadrement. 2) Montrer par recurrence que

1 \leq t_{n} \leq 3

. 3) a) Montrer que

t_{n + 1} - 2 = \frac{- ( t _{n} - 2 )}{t _{n} + 2}

. b) En deduire

∣ t_{n + 1} - 2∣ \leq \frac{1}{3} ∣ t_{n} - 2∣

. c) Montrer par recurrence que

∣ t_{n} - 2∣ \leq (\frac{1}{3})^{n} ∣ t_{0} - 2∣

, en deduire que

(t_{n})

converge et donner sa limite.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 2, procede par recurrence : suppose $1\\le t_n\\le3$ et etudie le signe de $t_{n+1}-1$ et $t_{n+1}-3$ en les exprimant comme fractions a denominateur positif.

2 Indice 2

Pour la question 3a, remarque que $2$ est un point fixe de la relation ($\\ell=2$ verifie $\\ell=\\frac{\\ell+6}{\\ell+2}$) et calcule $t_{n+1}-2$ en reduisant au meme denominateur.

3 Indice 3

Pour 3b et 3c, utilise l'encadrement $t_n+2\\geq3$ (issu de la question 2) pour majorer $|t_{n+1}-2|$, puis fais une recurrence pour obtenir $|t_n-2|\\leq(1/3)^n|t_0-2|$ et conclus avec le theoreme des gendarmes.

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Pour la question 2, procede par recurrence : suppose $1 l e t_{n} l e 3$ et etudie le signe de $t_{n + 1} - 1$ et $t_{n + 1} - 3$ en les exprimant comme fractions a denominateur positif.

Pour la question 3a, remarque que $2$ est un point fixe de la relation ( $e l l = 2$ verifie $e l l = f r a c e l l + 6 e l l + 2$ ) et calcule $t_{n + 1} - 2$ en reduisant au meme denominateur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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