Exercice 3 — Suite récurrente et encadrement On considère la suite ( w n ) n ∈ N définie par : w 0 = 1 et w n + 1 = 3 1 × w n + 2 pour tout n ∈ N . Calculer w 1 , w 2 et w 3 . Ces valeurs vous semblent-elles converger vers une valeur ? Laquelle ? On pose l = 3 (à admettre ou à retrouver en résolvant l = 3 1 × l + 2 ). Poser t n = w n − 3 pour tout n ∈ N . a. Montrer que ( t n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. Exprimer t n puis w n en fonction de n . Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N : 1 ≤ w n ≤ 3 . Déterminer n → + ∞ lim w n et étudier le sens de variation de ( w n ) .

Suite définie par récurrence et démonstration par récurrence

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 3 — Suite récurrente et encadrement

On considère la suite $(w_{n})_{n \in N}$ définie par : $w_{0} = 1$ et $w_{n + 1} = \frac{1}{3} \times w_{n} + 2$ pour tout $n \in N$ .

Calculer $w_{1}$ , $w_{2}$ et $w_{3}$ . Ces valeurs vous semblent-elles converger vers une valeur ? Laquelle ?
On pose $l = 3$ (à admettre ou à retrouver en résolvant $l = \frac{1}{3} \times l + 2$ ). Poser $t_{n} = w_{n} - 3$ pour tout $n \in N$ .
a. Montrer que $(t_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer $t_{n}$ puis $w_{n}$ en fonction de $n$ .
Démontrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $1 \leq w_{n} \leq 3$ .
Déterminer $n \to + \infty lim w_{n}$ et étudier le sens de variation de $(w_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $w_1$, $w_2$ et $w_3$, applique simplement la formule de récurrence : remplace $w_n$ par sa valeur dans $w_{n+1} = \dfrac{1}{3} \times w_n + 2$, en partant de $w_0 = 1$.

2 Indice 2

Pour montrer que $(t_n)$ est géométrique, calcule $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$ : écris $t_{n+1} = w_{n+1} - 3$, puis remplace $w_{n+1}$ par son expression et factorise pour faire apparaître $t_n$.

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Pour calculer $w_{1}$ , $w_{2}$ et $w_{3}$ , applique simplement la formule de récurrence : remplace $w_{n}$ par sa valeur dans $w_{n + 1} = \frac{1}{3} \times w_{n} + 2$ , en partant de $w_{0} = 1$ .

Pour montrer que $(t_{n})$ est géométrique, calcule $t_{n + 1}$ en fonction de $t_{n}$ : écris $t_{n + 1} = w_{n + 1} - 3$ , puis remplace $w_{n + 1}$ par son expression et factorise pour faire apparaître $t_{n}$ .

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