Démonstration par récurrence et monotonie — niveau intermédiaire — Bac Sénégal 2023

Exercice 3

On considère la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $w_0=1$ et $w_{n+1}=\frac{w_n^2+2}{2w_n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $w_1$ et $w_2$. Émettre une conjecture sur le signe de $w_n-1$.
2. Démontrer par récurrence que $w_n\ge 1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
3. Étudier le signe de $w_{n+1}-w_n$ en fonction de $w_n$, puis en déduire la monotonie de $(w_n)$.
4. La suite $(w_n)$ est-elle convergente ? Justifier. Si oui, calculer sa limite $\ell$.