Montrer que e x ≥ 1 + x pour tout x ∈ R , avec égalité en x = 0 . En déduire que e x ≥ 1 + x + 2 x 2 pour tout x ≥ 0 . En déduire que x → + ∞ lim x n e x = + ∞ pour tout entier n ≥ 1 .

Inégalités par la dérivée — eˣ ≥ 1+x et applications

Intermédiaire

Énoncé

Montrer que $e^{x} \geq 1 + x$ pour tout $x \in R$ , avec égalité en $x = 0$ .
En déduire que $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ pour tout $x \geq 0$ .
En déduire que $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $e^x \geq 1+x$, définis la fonction $g(x) = e^x - 1 - x$ et étudie ses variations : calcule sa dérivée et cherche où elle atteint son minimum.

2 Indice 2

Pour la deuxième inégalité, pose $h(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}$ et remarque que sa dérivée $h'(x) = e^x - 1 - x$ est justement ce que tu as prouvé positif à la question précédente !

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Pour montrer que $e^{x} \geq 1 + x$ , définis la fonction $g (x) = e^{x} - 1 - x$ et étudie ses variations : calcule sa dérivée et cherche où elle atteint son minimum.

Pour la deuxième inégalité, pose $h (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}$ et remarque que sa dérivée $h^{'} (x) = e^{x} - 1 - x$ est justement ce que tu as prouvé positif à la question précédente !

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