Somme télescopique d'arctangentes via une fonction constante

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

$f(x)=\arctan \left(\frac{1}{2x^2}\right)+\arctan \left(\frac{x-1}{x}\right)-\arctan \left(\frac{x}{x+1}\right)$

1. Montrer que $f$ est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ puis calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Calculer $f(1)$ puis en déduire que pour tout $x\in \left]0;+\infty \right[$ : $\arctan \left(\frac{1}{2x^2}\right)=\arctan \left(\frac{x}{x+1}\right)-\arctan \left(\frac{x-1}{x}\right)$.
3. On pose $S_n=\sum _{k=1}^n\arctan \left(\frac{1}{2k^2}\right)$. Montrer que $S_n=\arctan \left(\frac{n}{n+1}\right)$ puis calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.