دراسة دالة ومتراجحة بالاشتقاق

التمرين 6 — المتراجحة ودراسة متقدمة للدالة

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=e^x-x-1$.

الجزء A — متراجحة أساسية

1. احسب $f^{\prime }(x)$ و $f^{\prime \prime }(x)$. ضع جدول تغيرات الدالة f.
2. استنتج أنه لكل عدد حقيقي x: $e^x\ge x+1$، مع تساوي إذا وفقط إذا كان $x=0$. تسمى هذه المتراجحة متراجحة التحدب للدالة الأسية.

الجزء B — تطبيق على دالة

نعتبر الدالة g المعرفة على $]0;+\infty [$ بما يلي: $g(x)=e^x-e\cdot x$.

3. ادرس تغيرات الدالة g وحدد قيمتها الدنيا.
4. باستخدام نتيجة الجزء A، بين أنه لكل $x>0$: $e^x\ge e\cdot x$، مع تساوي إذا وفقط إذا كان $x=1$. (يمكن تطبيق متراجحة الجزء A على قيمة مختارة بعناية.)

الجزء C — تعميم

5. ليكن a عددا حقيقيا موجبا قطعا. بتطبيق متراجحة الجزء A على $x-1$، بين أنه لكل $x>0$: $e^x\ge e\cdot x$ (أعد إيجاد هذه النتيجة بطريقة أخرى).
6. بشكل أعم، بين أنه لكل عدد حقيقي a وكل عدد حقيقي x: $e^x\ge e^a(x-a+1)$. فسر هذه النتيجة هندسيا.