نمذجة نمو ساكنة الدار البيضاء

التمرين 4 — وضعية-مسألة: نمذجة عدد السكان

يقوم مخطط عمراني في الدار البيضاء بنمذجة تطور عدد سكان حي جديد. يفترض أنه بعد $t$ سنة من افتتاح الحي ($t\ge 0$)، يُعطى عدد السكان (بالآلاف) بالعلاقة:

$N(t)=A-(A-N_0)e^{-kt}$

حيث $A$ و $N_0$ و $k$ ثوابت موجبة قطعاً مع $N_0<A$.

1. فسّر $N_0$ واحسب $\underset{t\to +\infty }{\lim }N(t)$. فسّر هذه النتيجة.
2. بيّن أن $N$ دالة متزايدة على $[0;+\infty [$. هل هذا متسق مع السياق؟
3. نفترض أن $N_0=2$ و $A=50$ و $k=0,1$. احسب $N^{\prime }(t)$ وحدد بعد كم سنة (قيمة صحيحة) يتجاوز عدد السكان $30000$ نسمة. نقبل أن $\ln (24)\approx 3,18$.
4. نعرّف الدالة $h$ على $]0;+\infty [$ بـ $h(t)=\frac{N(t)}{t}$. يؤكد أحد المنتخبين أن المعدل المتوسط للسكان في السنة يؤول إلى $0$ عندما $t\to +\infty$. تحقق من هذا التأكيد.