Étude complète d'une fonction avec asymptote oblique

Exercice 3 — Étude complète de fonction

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=x+1-2e^{-x}$.

1. Calculer les limites de g en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter géométriquement la limite en $+\infty$.
2. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+1$ est asymptote à la courbe de g en $+\infty$. Préciser la position de la courbe par rapport à $\Delta$.
3. Calculer $g^{\prime }(x)$ et étudier les variations de g.
4. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et vérifier que $\alpha \in ]0;1[$.
5. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.