Étude complète d'une fonction et équation différentielle

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=(x^2+x+1)\cdot e^{-x}$

Partie A — Étude de g

1. Calculer les limites de g en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat en $+\infty$.
2. Montrer que $g^{\prime }(x)=-(x^2-x)\cdot e^{-x}=-x(x-1)\cdot e^{-x}$. En déduire le tableau de variations complet de g.
3. Montrer que la courbe représentative de g admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.

Partie B — Équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime }+y=(2x+1)\cdot e^{-x}$, où y est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

4. Vérifier que la fonction h définie par $h(x)=x^2\cdot e^{-x}$ est solution particulière de (E).
5. Résoudre l'équation homogène associée (E${}_0$) : $y^{\prime }+y=0$.
6. En déduire l'ensemble des solutions de (E), puis déterminer la solution $\phi$ de (E) vérifiant $\phi (0)=1$.